微分形式についていろいろを書いてみる．
ベクトル場$X \in \mathfrak{X}(M)$に関するLie微分（Lie derivative） $L_{X}\colon A^{k}(M) \to A^{k}(M)$ を$\omega \in A^{k}(A), X_{1}, \dots, X_{k} \in \mathfrak{X}(M)$に対して \begin{equation*} (L_{X}(\omega)) (X_{1}, \dots, X_{k}) = X \omega (X_{1}, \dots, X_{k}) - \sum_{i = 1}^{k} \omega (X_{1}, \dots, [X, X_{i}], \dots, X_{k}) \end{equation*} により定める．