2024年度 構造幾何入門 第3回：接線と単位接線ベクトル

演習 3-1.

曲線$\pp(t) = \Vector{4 \cos t + \dfrac{1}{2} \cos 2 t\\[6pt] 4 \sin t - \dfrac{1}{2} \sin 2 t }\ (0 \leqq t \leqq 2 \pi)$について次の問に答えよ．
(1) $t = 0$における接線の方程式を求めよ．
(2) 単位接線ベクトル$\ee_{1}(t)$を求めよ．
(3) $n = 0, 1, 2, 3, 4$に対し，$t = \dfrac{n\pi}{4}$における接線を同じ$xy$平面上に図示せよ． (電卓，エクセル，JavaScript, Python等を使って良い． )

演習 3-1. 補足 その1

• 赤い円の中心は$(0,0)$で半径は$6$， 緑の円の中心は$(4,0)$で半径は$2$， 青い点の座標は$(4.5,0)$です．
• 緑の円が赤い円上を滑ることなく回転するときの青い点の軌跡が曲線$\pp(t)$になります．
• 内トロコイド(hypotrochoid)という曲線の一つです．

• $\pp(t)$を$0.05\pi$間隔でプロットする．
  start stop reset

演習 3-1. 補足 その2

• $0 \leqq t \leqq 2 \pi$の範囲を$100$分割して，$\pp(t)$を描くPythonのプログラムは次です． 2024年度の「プログラミング基礎」の環境「Google Colaboratory」で利用できます．

  %matplotlib inline
  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  #グラフの縦横比を等しくする．
  plt.axes().set_aspect('equal')
  
  t_start = 0
  t_stop = 2 * np.pi
  t_num = 100
  
  t = np.linspace(t_start, t_stop, t_num)
  x = 4 * np.cos(t) + 0.5 * np.cos(2 * t)
  y = 4 * np.sin(t) - 0.5 * np.sin(2 * t)
  
  plt.plot(x, y);
  
  plt.show()

演習 3-1. 補足 その3

• $0.05\pi$間隔で接線を描く．
  start stop reset

参考文献

• 礒田 正美・Maria G.Bartolini Bussi 編・田端 毅・讃岐 勝・礒田 正美 著, 曲線の事典―性質・歴史・作図法―, 共立出版， 2009年12月， p.271
• 松浦 健一郎・司 ゆき 著, わかるPython［決定版］, SBクリエイティブ, 2018, p.346